圆台的体积公式

圆台的体积公式

一．定义与公式

定义：圆台，是指用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥后，底面与截面之间的部分。

公式：（$\left(V=\frac{1}{3} \pi h\left(r^{2}+R^{2}+r R\right)\right.$（V代表体积，r代表上底面半径，R代

表下地面半径，h代表高）

圆台的性质：

1、平行于底面的截面是圆。

2、过轴的截面是等腰梯形。

3、同别的棱台一样，若它是一个圆锥体在½处截断，

则上底半径也应为下底的½，截下面积是整个圆锥面

积的1/7.过圆台侧面一点有且只有一条母线。

3、如果沿一个直角梯形垂直于底边的腰旋转一周，

将得到一个圆台。圆台任意两条母线延长后交于一点。

二．例题

例题1：

圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于

392，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的体积。

∵$\mathrm{R}=3 \mathrm{r}$，$\angle \mathrm{ASO}=\angle \mathrm{SAO}=45^{\circ}$ ，

∴$A 0=S 0=3 r=H=3 h=3 / 2 h 1$

$\mathrm{h} 1=2 / 3 \mathrm{H}=2 \mathrm{r}$

∴梯形的面积=$(2 r+6 r) \cdot 2 r \cdot 1 / 2=392$

r=7，R=21，h1=14

v=$\left(7^{2}+21^{2}+7 \cdot 21\right) \cdot 14 \cdot 1 / 3$=$=\sqrt[7]{\frac{182}{3} \pi}$

例题2：

祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等

现有以下四个几何体：图是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图、图、图分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为

【答案】D
【解答】
 解：设截面与底面的距离为h，
则图1中截面内圆半径为h，则截面圆环的面积为$\pi\left(R^{2}-h^{2}\right)$
图二中截面圆的半径为R-h，则截面圆的面积为$\pi(R-h)^{2}$
图三中截面圆的半径为$R-\frac{\hbar}{2}$，则截面圆的面积为$\pi\left(\mathrm{R}-\frac{\mathrm{h}}{2}\right)^{2}$
图四中截面圆的半径为$\sqrt{R^{2}-h^{2}}$，则截面圆的面积为$\pi\left(R^{2}-\hbar^{2}\right)$，
所以图1,4中截面的面积相等，
故选D．