椭圆的离心率
2021-04-01 17:28:43
椭圆的离心率
一．定义与公式
定义：椭圆的离心率又称：偏心率。离心率是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比。
公式：
椭圆离心率：
→ a²=b²+c²
特征：
1、范围：焦点在x轴上，
；焦点在y轴上，
。
2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。
3、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）。
4、离心率：
。
5、离心率范围：0 6、离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。 7、焦点（当中心为原点时）：（-c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）。 8、 9、P为椭圆上的一点，a-c≤PF1（或PF2）≤a+c。 10、椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。 二、例题 经典例题： 已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO//AB(O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率. 【详解】 由题意，有$\overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}=3 \overrightarrow{O F}_{1}$，即$\overrightarrow{O F_{1}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{O A}+\frac{2}{3} \overrightarrow{O B}$，知$\frac{B F_{1}}{A F_{1}}=\frac{1}{2}$ 【点睛】 本题考查了求离心率的问题，结合向量的线性关系及模相等，有相关线段的比例关系及等量关系，即求得点的横坐标，结合几何图形根据线段比例求离心率 【点睛】 本道题考查了椭圆的性质，考查了离心率的计算方法，关键构造关于e的不等式，计算范围，即可，难度偏难． 4．已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的焦点为$F_{1}$，$F_{2}$，P是椭圆上一点，且$2 \overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=\left|\overrightarrow{P F_{1}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{P F_{2}}\right|$，若$\triangle F_{1} P F_{2}$的内切圆的半径r满足$\left|\overrightarrow{P F_{1}}\right|=3 r \sin \angle F_{1} F_{2} P$，则椭圆的离心率为（ ） A．$\frac{4}{7}$ B．$\frac{2}{3}$ C．$\frac{3}{7}$ D．$\frac{1}{3}$ C 【分析】 由已知$2 \overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=\left|\overrightarrow{P F_{1}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{P F_{2}}\right|$，得$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{3}$，在$\triangle F_{1} P F_{2}$中，利用余弦定理及面积公式可得$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{3}$，再利用$S_{\mathrm{VF}_{1} P F_{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3} b^{2}$的内切圆的半径r，可知$S_{\mathrm{VF}_{P P F_{2}}}=(a+c) r$，建立等式关系，再由已知结合正弦定理得到关系式$\frac{\sqrt{3} b^{2}}{a+c}=\frac{4 c}{\sqrt{3}}$，结合$b^{2}=a^{2}-c^{2}$，将关系式转化为a,c的关系式，从而求得离心率. 【点睛】 关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于a,b,c的等量关系．本题中利用$2 \overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=\left|\overrightarrow{P F_{1}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{P F_{2}}\right|$，得$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{3}$，在$\triangle F_{1} P F_{2}$中，利用解三角形思想可得$S_{\mathrm{VF}_{1} P F_{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3} b^{2}$，再利用$\triangle F_{1} P F_{2}$的内切圆的半径r，可知$S_{V F_{1} P F_{2}}=(a+c) r$，建立等式关系，再由已知结合正弦定理得到所要求的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题． 【分析】 根据题设条件求出$\lambda$，从而得到一个关于直线OP的斜率恒成立的不等式，故可得关于基本量的不等式，据此可求离心率的范围. 【详解】 因为点P是$=\Gamma$上第一象限内任意一点，故$\angle \mathrm{POF}$为锐角，所以$\tan \angle P O F<1$， 设直线OP的斜率为K，则$0 【点睛】 方法点睛：圆锥曲线中的离心率范围的计算，关键是利用题设条件构建关于a,b,c的一个不等式关系，此关系的构建需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系等． 6．已知$F_{1}, F_{2}$为椭圆$E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点，B为E的短轴端点，$B F_{2}$的延长线交E于点M，M关于X轴的对称点为N，若$M F_{2} \perp N F_{1}$ ，则 A．$\frac{\sqrt{3}}{2}$ B．$\frac{\sqrt{2}}{2}$ C．$\frac{\sqrt{3}}{3}$ D．$\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．D 【分析】 写出$B F_{2}$方程，与椭圆方程联立求得M点坐标，由对称性得N点坐标，由$M F_{2} \perp N F_{1}$，其斜率乘积为-1得a，b，c的等式，变形后可求得离心率e．
与（m为实数）为离心率相同的椭圆。
的离心率是（ ）